FIR濾波器的線性相位，真的如此重要么？

小馮 · 發表于 2022-1-24 16:37:41

以下文章來源于啟音課堂，作者周強生

FIR濾波器與線性相位

在專業音頻領域，人們一談論FIR濾波器（有限脈沖響應濾波器），往往會同時想到其線性相位特性，并將之視為相對于IIR濾波器的主要優勢。“線性相位”幾乎成為FIR濾波器的固有標簽，簡單說幾個現象為證：

1

一些音頻處理器廠家，在設計處理器的FIR濾波器功能時，貼心地提供了延時補償功能，其原理是將加載了抽頭數最長的FIR濾波器通道相對于其它通道的延時差，自動添加到其它FIR濾波器抽頭較少的通道，以保證在加載FIR濾波器之后，通道之間的延時保持一致。而FIR濾波器的延時計算，則默認取濾波器長度的一半，這是線性相位FIR濾波器的典型特性（后文將說明）；

2

一些專業音頻計算工具，可以根據用戶輸入的FIR濾波器采樣率和抽頭數，計算濾波器的長度和延時，其延時值為濾波器長度的一半，這可能是默認FIR濾波器就是線性相位；

3

作者在日常和同行朋友們交流時，一談到要用FIR濾波器，就會有朋友拿起手機算起FIR濾波器的延時，并考慮該延時量是否可以接受，但卻并不討論FIR濾波器是否為線性相位，似乎FIR濾波器必然會造成一個確定的延時；

誠然，FIR濾波器可以實現線性相位，這是它相對于IIR濾波器的重要區別。但是FIR濾波器并不必須是線性相位，也并不必然帶來額外的處理延時。認識這一點，對于進一步發揮FIR濾波器的潛力非常必要。

假設我們要使用FIR濾波器來優化一只音箱的頻率響應，這是一只有源的5寸兩分頻音箱，音箱的近似直達聲頻率響應曲線如圖1所示，可以看到在整個工作頻段內，幅度響應有明顯的峰谷，相位響應偏移約3個周期。請留意圖1上方的實時脈沖視圖，脈沖峰值位于6.31毫秒處，即測量信號相比于參考信號晚了6.31毫秒，這其中包括信號鏈路中的數字處理器時滯及聲音從音箱至測量話筒的傳播延時。后續的音箱測量中，我們始終保持音箱和話筒的位置一致，處理器的通道延時值保持為0毫秒，因此后續測量的延時變化均是由FIR濾波器造成的。

圖1：音箱的“初始”頻率響應

接下來我們通過FIRDesigner軟件來設計一個96kHz，1024抽頭的FIR濾波器，對該音箱的頻率響應進行優化，優化目標是盡可能得到較為平直的幅度曲線和相位曲線。由于濾波器長度的限制，該濾波器在300Hz以下的頻率分辨率不足，因此我們基本不處理300Hz以下的頻段。

我們將設計三個不同相位版本的濾波器，分別是線性相位、最小相位和混合相位，并在FIRDesigner軟件的濾波器導出頁中觀察濾波器系數（即其脈沖響應）、濾波器頻率響應和濾波器偏差。

線性相位FIR濾波器的響應如圖2所示：

圖2：線性相位FIR濾波器的系數、頻率響應與加窗后偏差

圖2的中間繪圖區的紅色相位響應全頻段位于0°刻度線上，說明這是一個線性相位濾波器。從上方的濾波器系數視圖中，其峰值位于濾波器中間位置，即512抽頭處，濾波器系數關于其中點對稱（這是實現線性相位的要求）。

最下方圖像為對理想濾波器加窗截短后，實際濾波器與理想濾波器的偏差。所謂理想濾波器，可以理解為抽頭數非常大的濾波器，如果我們將濾波器長度增加至16K（16384個抽頭），則全頻段的偏差接近于0。然而，實際濾波器抽頭數往往由硬件計算資源決定，比如我所使用的這臺處理器支持最多1024個抽頭，因此我需要從理想濾波器系數中“截取”出1024個系數，這種截取會造成頻率響應的偏差。當前加窗后的濾波器顯示誤差在±1dB之內，對于大部分應用場景來說，這應該都是可接受的。

濾波器長度和延時

已知采樣率為96KHz，則相鄰的采樣樣本之間的時間間隔是1/96K s，濾波器有1024個抽頭，相當于該濾波器包含了1024的樣本，不難計算該FIR濾波器的時間長度為

這與FIRDesigner軟件中顯示的濾波器長度基本一致。

對于線性相位FIR濾波器，其濾波器系數必須要對稱才能實現線性相位，因此濾波器的脈沖響應峰值應位于濾波器1/2處，而脈沖峰值的位置即為該濾波器的延時。本例中，該濾波器脈沖響應峰值位于512個樣本處，對應的延時值約為5.3毫秒。經該FIR濾波器處理后的音箱系統響應如下圖：

圖3：經線性相位FIR濾波器優化后的音箱頻率響應

然而線性相位只是FIR濾波器的一種可能的狀態，FIR濾波器也可以是最小相位濾波器。按照最小相位為目標得到的濾波器脈沖響應位于濾波器起始處，即濾波器延時為0毫秒，此時濾波器依然能夠實現和上述線性相位FIR濾波器相同的幅度響應，不過其相位響應表現為最小相位特性，和常用的IIR濾波器效果類似。注意，此時濾波器的長度是不變的，因為采樣率和抽頭數沒有變。

這就是說，我們利用最小相位FIR濾波器實現了同樣的幅度響應，卻不會帶來處理延時！這對于現場擴聲應用來說，意義重大。

最小相位FIR濾波器的系數與頻率響應如圖4：

圖4：最小相位FIR濾波器的系數、頻率響應與加窗后偏差

經該濾波器處理后的音箱系統響應如圖5：

圖5：經最小相位FIR濾波器優化后的音箱頻率響應

最后，我們再設計一個混合相位FIR濾波器，在濾波器設計過程中，選用最小相位特性濾波來校正較大的幅度偏差，選用最大相位特性濾波校正音箱分頻造成的相位偏移（中高頻），選用線性相位特性濾波校準幅度和相位的細節偏差，最后得到的綜合結果是一個混合相位FIR濾波器。通過對濾波器脈沖峰值的移動，在維持其頻率響應偏差不超過±1dB的前提下，將濾波器的延時減小到2毫秒左右，注意此時的濾波器長度依然為1024抽頭（約10.67毫秒）。

圖6：混合相位FIR濾波器的系數、頻率響應與加窗后偏差

經該濾波器處理后的音箱系統頻率響應如圖7：

圖7：經混合相位FIR濾波器優化后的音箱頻率響應

FIR濾波器的線性相位

真的如此重要么？

勿容置疑，在很多應用場景中，線性相位對于FIR濾波器確實非常重要，這些應用不限于音頻信號處理，而是遍及醫療（心電圖）、軍事（雷達）、圖像處理、數據分析等各行各業的數字信號處理場景。然而，當我們僅討論用FIR濾波器校正或優化音箱系統頻率響應時（比如優化上文中的音箱響應），這是個值得討論的問題。

我們選擇使用線性相位FIR濾波器時，往往基于這樣一個假設：音箱系統的相位偏移是一種失真，因為該系統不能維持輸入信號的原始波形，我們且稱之為相位失真。這種失真是對輸入信號的一種扭曲，我們希望消除這種失真，因此要盡量減小或校正相位偏移，使系統能夠達到線性相位。（這種假設雖然尚存爭議，但卻是很多人選擇FIR濾波器的原因，也是本文后續討論的前提。如果你不同意這種假設也完全沒問題，但那是另外一回事）。

在一個音箱系統中，揚聲器單元自身的帶通濾波器效應、單元之間的物理位置差、分頻電路、波導管、號角、倒相孔等因素，都不可避免地使得音箱系統的相位發生扭曲偏移。如果相位失真不好，我們要消除它，我們應該希望經過FIR校正后的整個系統是線性相位，而不是FIR濾波器本身的線性相位，因為我們的耳朵聽到的是整個系統輸出的聲信號，而不是FIR濾波器輸出的卷積樣本。線性相位FIR濾波器僅僅是沒有讓相位失真沒有變得更差，卻也沒有解決原有的任何相位偏移問題！我們將上述三個濾波器優化后的音箱頻響結果對比來看：

圖8：不同相位特性FIR濾波器優化后的音箱頻率響應對比

其中，藍色曲線為音箱優化前的響應，三個FIR濾波器的對幅度的優化結果非常接近，差別在于相位。線性相位濾波器（橙色）處理后的相位與處理前完全一致；最小相位濾波器（紫色）對原始相位曲線中的小幅扭曲做了校正，因此紫色相位曲線相比藍色曲線，顯得更加平滑；而混合相位濾波器對音箱的相位做了“線性化”，在大約1kHz以上將相位處理成“0相位”。相比之下，線性相位FIR濾波器優化的“功效”最小，造成的延時卻是最大的。

為了方便理解線性相位FIR濾波器在此音箱響應優化過程中的作用，我們打個比方。

假設你是一家生產型企業的老板，最近這兩年你發現車間員工的工作積極性差、紀律松散、生產效率低下，這嚴重拖累了企業效益，讓你苦心經營的產業陷入危機。于是你痛下決心，決定花高薪聘請了一位廠長，希望徹底改變這種狀況。然而，這位廠長到崗將近三個月了，你發現他本人的工作態度很端正，也還稱得上勤奮，遵守公司紀律，但是對于車間存在的工作積極性差和工作紀律問題卻充耳不聞。請問，作為老板，你打算讓這位獨善其身的廠長轉正么？

在我看來，如果你想用FIR濾波器來校正音箱的頻率響應，并堅持采用線性相位FIR，相當于高薪請了這一位獨善其身、無所作為的廠長。他只是沒有讓問題變得更糟糕，卻也沒有解決什么問題，還占用了更多的資源——廠長要求的薪資比普通員工更高，而線性相位FIR濾波器則造成更大的處理延時。

可能有人會反駁，線性相位FIR濾波器雖然沒有對相位做優化，卻也還能優化幅度響應。我們要知道，最小相位FIR濾波器也能優化幅度響應，同時還能校正音箱系統中部分最小相位特性的相位扭曲，它在優化了幅度響應的同時，也優化了相位響應，并且不會產生額外的處理延時。那我們為什么不選擇最小相位FIR濾波器呢？

為什么不要把FIR濾波器

等同于線性相位？

根據上述討論，僅就使用FIR濾波器校正或優化音箱的頻率響應這一應用場景來說，線性相位FIR濾波器往往不是首選。本文僅以技術角度討論這一問題，建議有興趣的讀者按照本文的方法，找一款或多款音箱，設計不同相位特性的FIR濾波器加以優化，并對比不同相位特性濾波器的聽感，從聽感的角度來驗證。

最近十年，尤其是最近五年以來，以FIRDesigner / FilterHose / FIRCapture等為代表的音頻FIR濾波器設計軟件日趨成熟，這些軟件的優勝之處在于能夠很方便地設定優化目標，選擇不同相位特性的FIR濾波器，設計混合相位FIR濾波器并優化濾波器延時。線性相位并不是FIR濾波器的唯一選擇，且往往不是首選。

將FIR濾波器與線性相位和“額外延時”綁定，相當于讓FIR濾波器背負了“莫須有”的罪名。秉持這種觀點，也會大大限制音響工程師對于FIR濾波器潛力的挖掘和應用。因此我們要拋棄“言FIR，必線性相位”觀點，給FIR和線性相位松松綁。

最后，引用著名專業音頻教育者Pat Brown先生在2016年發表的FIR-ward thinking系列文章中的觀點來結束本文的討論：

“A combination of linear phase FIRs for HF equalization and min phase FIRs for LF equalization seems to be the way to go. These are called “mixed phase” filters and in my opinion they are the future. ”

— Pat Brown

“對高頻應用線性相位FIR濾波器，對低頻應用最小相位FIR濾波器的組合似乎是一種解決方法。這被稱為“混合相位”濾波器，我認為，這將是未來的發展趨勢。”

參考資料：

1. 數字信號處理（第三版），Understanding Digital Signal Processing Third Edition，Richard G. Lyons

2. FIR-ward Thinking–Part 5 Are More Taps Better? , Pat Brown

3. 音頻FIR濾波器(Understanding Audio FIR Filtering), Michael John

4. 有意義的揚聲器相位響應(A Meaningful Loudspeaker Phase Response), Hadi Sumoro

來源/啟音課堂